COMO DETERMINAR LA ALTURA DE UNA PIRÁMIDE
La altura de la pirámide de Keops y el teorema de Tales
Se trata de un problema con el que algunos profesores animan a los alumnos a practicar al aire libre (cálculo de la altura de un gran árbol, una torre, etc.) y que forma parte de la denominada Matemática Recreativa. Dice así:
En la Necrópolis de Guiza en Egipto, la más antigua de las siete maravillas del mundo y la única que aún se conserva, se encuentran las famosas pirámides construidas por los faraones de la cuarta dinastía, Keops, Kefrén y Micerino: Jufu (Keops), también conocida como la Gran Pirámide, Jafra (Kefrén) y, algo más pequeña, Menkaura (Micerino).
Necrópolis de Guiza (Giza o Gizah)
Cuenta la leyenda relatada por Plutarco que Tales de Mileto, uno de los llamados siete sabios de Grecia, durante uno de sus viajes a Egipto se encontró cierto día visitando la Necrópolis con el joven e inquieto Rey de Egipto, quien deslumbrado por la fama y sabiduría de Tales le preguntó si podía medir la altura de la majestuosapirámide de Keops que se levantaba ante ellos.
Era por la mañana, muy temprano, y acababa de salir el sol por el horizonte. Es sabido que a esa hora las sombras que las personas y los objetos proyectan son muy largas, luego se acortan a medida que avanza el día, sobre todo al mediodía, y ya por la tarde empiezan de nuevo a alargarse. Ante la pregunta del Rey, Tales reflexionó unos instantes y le contestó que no solo la calcularía, sino que incluso la mediría sin ayuda de ningún instrumento. Dicho 
esto, tomó dos bastones de igual longitud (también pueden ser distintos, e incluso con uno solo es posible), colocó uno en posición vertical y el otro en horizontal, y se puso a esperar. Como todavía era muy pronto, la sombra proyectada por el bastón vertical superaba con mucho la longitud del bastón horizontal, pero a medida que avanzaba el día esa sombra se fue acortando. Cuando su longitud se hizo igual que la del bastón apoyado en la arena, Tales le dijo al Rey:
esto, tomó dos bastones de igual longitud (también pueden ser distintos, e incluso con uno solo es posible), colocó uno en posición vertical y el otro en horizontal, y se puso a esperar. Como todavía era muy pronto, la sombra proyectada por el bastón vertical superaba con mucho la longitud del bastón horizontal, pero a medida que avanzaba el día esa sombra se fue acortando. Cuando su longitud se hizo igual que la del bastón apoyado en la arena, Tales le dijo al Rey:
“Ahora ya es muy fácil conocer la altura de la pirámide“.
COMO DETERMINAR LA ALTURA DE UN ÁRBOL
¡Midiendo la sombra!
Explicación.
El objeto es vertical y su sombra horizontal. La inclinación de la luz del sol será la que determine la longitud de la sombra. Con el punto más alto del objeto, el punto donde éste llega al piso y el punto más lejano de la sombra, armamos un triángulo imaginario.
Nominamos los vértices con las letras A, B y C.
Tenemos que averiguar cuanto mide el lado AB, que por ahora será igual a X.
Medimos la longitud de la sombra, que es el lado BC. Supongamos que tiene 21.36 metros.
Con ese dato todavía no podemos calcular X.
El paso siguiente es tomar un referente de un metro de altura (A’B’) y medir su sombra (B’C’). Supongamos ahora que la sombra de éste objeto es igual a 1.78 metros. Esto se tiene que hacer enseguida de medir la primera sombra, para que no haya una variación en el ángulo de la luz solar.
Lo que hicimos no fue otra cosa que construir un triángulo semejante al primero, pero con la diferencia que sabemos dos datos: las medidas de los catetos.
Por relación de triángulos semejantes sabemos que AB/BC = A’B’/B’C’, y que expresado con valores es: X / 21.36 = 1.00 / 1.78
Entonces despejamos el valor de X, que saldrá de calcular: (21.36 × 1.00) / 1.78
X=12.00 metros.
Así de fácil.
Este cálculo no se modifica si el piso tiene pendiente. Pero si objeto estuviese inclinado, bastará con tener la precaución de ubicar nuestro referente de un metro con la misma posición para que el resultado sea el más aproximado posible.
Explicación.
El objeto es vertical y su sombra horizontal. La inclinación de la luz del sol será la que determine la longitud de la sombra. Con el punto más alto del objeto, el punto donde éste llega al piso y el punto más lejano de la sombra, armamos un triángulo imaginario.
Nominamos los vértices con las letras A, B y C.
Tenemos que averiguar cuanto mide el lado AB, que por ahora será igual a X.
Medimos la longitud de la sombra, que es el lado BC. Supongamos que tiene 21.36 metros.
Con ese dato todavía no podemos calcular X.
El paso siguiente es tomar un referente de un metro de altura (A’B’) y medir su sombra (B’C’). Supongamos ahora que la sombra de éste objeto es igual a 1.78 metros. Esto se tiene que hacer enseguida de medir la primera sombra, para que no haya una variación en el ángulo de la luz solar.
Lo que hicimos no fue otra cosa que construir un triángulo semejante al primero, pero con la diferencia que sabemos dos datos: las medidas de los catetos.
Por relación de triángulos semejantes sabemos que AB/BC = A’B’/B’C’, y que expresado con valores es: X / 21.36 = 1.00 / 1.78
Entonces despejamos el valor de X, que saldrá de calcular: (21.36 × 1.00) / 1.78
X=12.00 metros.
Así de fácil.
Este cálculo no se modifica si el piso tiene pendiente. Pero si objeto estuviese inclinado, bastará con tener la precaución de ubicar nuestro referente de un metro con la misma posición para que el resultado sea el más aproximado posible.
QUE ES PARALAJE Y SUS TIPOS
Paralaje
La paralaje (del griego παράλλαξις, cambio, diferencia) es la desviación angular de la posición aparente de un objeto, dependiendo del punto de vista elegido. Como se muestra en el esquema, la posición del objeto observado, en O, varía con la posición del punto de vista, en A o en B, al proyectar O contra un fondo suficientemente distante. Desde A el objeto observado parece estar a la derecha de la estrella lejana, mientras que desde B se ve a la izquierda de aquélla. El ánguloAOB es el ángulo de paralaje: ángulo que abarca el segmento AB desde O.
En astronomía
En astronomía se definen diversos tipos de paralaje. Estas son algunas:1
- La paralaje (en español el término es femenino) es el ángulo formado por la dirección de dos líneas visuales relativas a la observación de un mismo objeto desde dos puntos distintos, suficientemente alejados entre sí y no alineados con él. También suele emplearse este término para referirse a la distancia a las estrellas.
La paralaje anual es el máximo valor aparente que puede adquirir la posición de una estrella dada en el transcurso de un año debido a la posición variable de la Tierra en su órbita alrededor del Sol y que corresponderá al momento en que la longitud eclíptica de la estrella, que es siempre constante, difiera 90º de la longitud eclíptica de la Tierra, que varía constantemente.Paralaje anual
Friedrich Bessel fue el primero en determinar la paralaje de una estrella, 61 Cygni,en la constelación de El Cisne, en el año 1838. Dos años después, en 1840, Friedrich Georg Wilhelm von Struve logró medir la paralaje de Vega en la constelación de Lyra.
Las paralajes estelares están por debajo del segundo de arco. El sistema estelar más cercano a la Tierra es Alfa Centauri, un sistema formado por tres estrellas. La más cercana de ellas, Próxima Centauri, tiene una paralaje de 0"765, correspondiente a 1,31 pc, o 4,3 años luz.
A mayor distancia el paralaje es menor, y los errores cometidos se van haciendo más y más significativos, de modo que a partir de l00 años luz ya no es fiable la paralaje anual trigonométrica para determinar distancias estelares.
Paralaje geocéntrica o paralaje diurna
- La paralaje geocéntrica o paralaje diurna es la diferencia entre la dirección de un astro, visto desde un punto de la superficie de la Tierra (topo céntrica) y la misma dirección de ese astro visto desde el centro de la Tierra (geocéntrica).
La paralaje horizontal es el ángulo bajo el cual se vería el radio de la Tierra desde un astro cuando éste se encuentra en el horizonte. Si el observador se sitúa en el Ecuador, entonces esta paralaje recibe el nombre especial de paralaje horizontal ecuatorial. El valor es máximo en el Ecuador de la Tierra y varía con la latitud, al no ser la Tierra completamente esférica.Paralaje horizontal
Paralaje trigonométrica
- La paralaje trigonométrica es el ángulo bajo el cual se ve el radio de la órbita de la Tierra, desde una estrella a una distancia normalizada de una unidad astronómica. Se expresa en segundos de arco. La distancia a la estrella es el inverso de la paralaje trigonométrica expresado en parsec; es decir que cuando se dice que la paralaje de Antares es de 0"019, ésta se encuentra a 52,632 parsec o 171,66 años luz.
Paralaje solar
- La paralaje solar es el ángulo bajo el que se ve el radio ecuatorial de la Tierra desde el centro del Sol. Vale 8,794148".
Paralaje lunar
- La paralaje lunar es el ángulo bajo el que se ve el radio ecuatorial de la Tierra desde el centro de la Luna. Vale 57' 02,608".
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